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DIY振动系统所需器材

·1.5号钓鱼线(直径略小于0.2mm2m。直径4.0mm,高4.0mm的圆柱状钐钴强磁3块(可参考本刊第376期),沿中心轴方向充磁,中心轴处有一孔径1.0mm的圆孔贯穿。

·小滑轮1个、载玻片4片。

·长约120cm的较粗木条若干。

·80×3 cm2绿色珍珠板。

·直径约1.0mm、长度约12.0mm之细电线3条。

·直径约0.4mm之漆包线50m

·软铁心3块(可从小型马达或小型变压器中拆下来,截面积约4×10mm,长约5cm即可)。

·强力胶和AB胶。

·讯号产生器(大一普通物理实验室必备,高中物理实验室也常见)、功率放大器(一般音响用的放大器即可)、闪光计频器(一种氙气闪光灯,闪光频率可调,在大一普通物理实验室中非常普遍)。

将一条具有张力的轻质弹性弦两端固定,串上若干等分此弦而具质量的质点,这样的振动系统便是耦合振子(coupled harmonic oscillator)的典型例子,是力学中非常重要的课题。最早研究这种运动系统的,正是力学鼻祖——牛顿,但直到继起的约翰和丹尼尔白努利父子(John & Daniel Bernoullis)才成功处理这个问题。1753年,丹尼尔白努利(白努利定律的作者)证明:这个耦合振子系统的运动,可以叠加其振动模式加以描述。而制作实际教具来演示这个系统的振动模式,一方面有助于驻波、波传播、振动模式、共振等物理现象的教学,另一方面也有助于理解耦合振子及Lagrangian function等较高深的力学理论,相关理论还可被用来研究晶格的振动。晶格振动理论的主要贡献者 L. Brillouin 甚至认为,白努利的研究是从力学发展到理论物理的转折,科学家们自此不再限于只能写下单一质点运动的定律,而开始企图找出由许多质点形成整个系统的运动法则。

为了与一般教科书中简化的例题一致起见,本实验的设计只演示负载3个质点的弦,且限制其运动二维平面的横向振动(transverse vibration)。市面上类似的教具十分罕见,极少数几种可以购得者,竟要用到笨重昂贵的气垫轨,且引发其各种振动模式的马达装置亦嫌复杂,往往模糊了演示的主题。本实验设计简洁,主题明显,花费少,自制容易,运动系统本身及其运动情形与教科书中理论探讨的内容完全一致,演示效果极佳。

 

零件的加工与组装

如图一所示,将漆包线以一层漆包线、一层双面胶的方式,分别整齐缠绕在两块软铁心上各约四百匝。将缠绕漆包线的软铁心相距1cm并列,再于一端附上第三块软铁心,制成马蹄形电磁铁,最外层再以透明胶带包覆(此工作需耐心,约需费时6 小时)。接着如图二所示,抽掉直径约1mm、长12mm的细电线中之铜丝,再将中空的细电线穿过圆柱状钐钴强磁的中心轴孔,以此作为本教具的负载质点,故需备制3个。

图一:马蹄形电磁铁。插图(俯视图)解释马蹄形电磁铁和圆柱状钐钴磁铁间交替出现的斥力和引力。


图二:串在弦上的圆柱状钐钴强磁。

如图三所示,以两根间隔1cm的较粗木条制成长约120cm的平台和必要的支架。而弦的一端固定在平台一侧,再穿过圆柱状钐钴强磁轴心的细电线小孔,将圆柱状钐钴强磁一一串起。平台另一侧安装如图四A所示之滑轮。将弦绕过滑轮,悬一配重(圆柱状钐钴强磁),以决定弦的张力。

图三:平台和支架(其他所有组件均已组装完成,操作时电磁铁应正对圆柱状钐钴磁铁)。

如图四所示,以4片载玻片制成恰容1.5号钓鱼线光滑穿过的狭缝2组,分别置于靠近平台左侧的固定点和平台右侧的滑轮处,两组狭缝相距79.6cm。弦静止时,此2组狭缝丝毫不拉扯弦,使弦从固定点到滑轮完全呈直线。调整钐钴强磁的间距,使之等分79.6cm的弦,再以强力胶加以固定,并于钐钴强磁下缘下方4mm处铺上绿色珍珠板。 

图四:(A)滑轮、配重和两片载玻片组成的狭缝;(B)靠近图三左侧固定点的狭缝。

将马蹄形电磁铁水平对准外侧的某个钐钴强磁,以功率放大器放大讯号产生器的讯号功率,再接通电磁铁,马蹄形电磁铁和钐钴强磁之间即会交互发生牵引和排斥的力量。测量钐钴强磁的质量和负载弦的张力,并概估其频率以为参考。而后小心缓慢调整讯号产生器的讯号频率,即可见第一振动模式(图五)、第二振动模式(图六)和第三振动模式(图七);若辅以频率调至与振动模式相近的闪光计频器来观察,各个振动模式振动的情形将更为清楚。


 

 


图七:第三振动模式:中间负载质点与两侧负载质点的运动方向相反。

 

设计特色

根据理论,若负载弦的张力为T(长1m的弦质量约0.04g,长79.6cm的弦质量则不足0.032g),负载质点间距为D,负载质点质量为M,负载质点数目为n,则其各振动模式的角频率ωN2ω0sin[Nπ/(2n2)];ω0[T/(DM)]1/2N1, 2, 3, 4, 5n。当n3(有3个负载质点)时,只有3种振动模式,频率可由上述公式算出,振动的情形则如图八:第一振动模式是 3个负载质点同方向振动;第二振动模式是两侧负载质点反方向振动,而中间负载质点静止;第三振动模式是两侧负载质点同向振动,而与中间负载质点的振动方向相反。本实验中,配重(即张力T)为108.14g,负载质点间距为D19.9cm,负载质点质量为M0.40g,三种振动模式的频率分别为88.3rad/sec163.2 rad/sec213.2 rad/sec;实际实验结果分别为89.8 rad/sec161.1 rad/sec219.2 rad/sec,误差均在3%以内。

 

图八:教科书中的绘图,理论计算得出的三种振动模式。(叶敏华  绘制)

而使用两组狭缝限制弦两端点的运动,也是本实验设计的重点之一。因若舍狭缝而以小孔取代,则此负载弦的振动情形往往会与跳绳运动情形相似,徒增演示教学的困扰。此外,马蹄形电磁铁和延轴向充磁的钐钴强磁之间的作用力无论相吸或相斥,因与相对较大的弦张力巧妙配合,即使振动激烈,都恰能合乎设计的要求。

因这项教具有下列优点:(一)舍弃任何须触碰振动系统的复杂机械装置,而隔空利用磁力操作,能既安静又简单的启动各个振动模式,特别有助于突显振动系统本身,不致有喧宾夺主的缺点;(二)振动系统本身简洁明了,与一般教科书中所叙述的振动系统完全相同;(三)不将弦的两端完全固定,却以垂直的缝限制弦两端的运动,使弦两端可以在垂直方向无拘运动,但水平方向则完全被固定,使垂直方向振动的能量可以传出耗损而衰减,并使垂直方向和水平方向振动模式的行为和频率完全错开独立;而以符合水平振动模式的频率变化的磁力驱动时,只有水平振动的模式会被启动,故本教具可以近乎完美的演示出教科书中所述的水平二维振动。(本文图片皆由作者提供)

 

本文讨论的耦合振子又称为负载弦(loaded string)。假若负载弦所负载的质点增加到无穷多个,则负载弦的震动模式即为一般所谓的驻波(standing wave)。琴弦、管乐器中的空气柱都属于一维振动系统,锣、鼓面等则是二维振动系统,吉他、小提琴的琴身都是三维振动系统。三维振动系统的振动模式非常复杂,常有许多不同振动模式的频率非常接近。

拉小提琴时,琴弦的振动引起琴身共鸣(共振),一方面丰润音色,一方面增加音量。一把价连城的小提琴其名贵之处在于音色醉人的琴身(共鸣箱)。音乐艺术显然无法全以理性赏析,但其相关物理原理其实可由本文出发加以理解。

 

图五:第一振动模式:3个负载质点的运动方向一致。曝光时间较长的照片显示,3个负载质点在二维平面上运动。


图六:第二振动模式:中间负载质点静止,两侧负载质点的运动方向相反。

 

 

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