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透镜成像是几何光学最重要的主题之一,在各级学校物理教科书中,或多或少都会提到,大家应该也耳熟能详。图一是凸透镜成像示意图,图中假设:物体上某点向四面八方发出的光,经透镜折射后,都会在某个位置再聚集回到一点。如果在光聚回一点的地方放置块屏幕,经透镜折射后的光会在屏幕上形成一个亮点。因此物体上其他的点向四面八方放出的光,也都各自经过透镜折射后聚集成一点,在屏幕上便可看到由该物体各对应位置的所有亮点而产生的实像。

 

图一:几何成像原理:从物体上某点放出的光经凸透镜折射后,都会聚回实像上的某个点。 

当然,物体上某一点向四面八方发出的光,经过透镜折射,都会在某个位置再聚回一点,这件事情只是一个假设。事实上经过透镜某些部分所折射的光,并无法在形成实像的位置精确地聚回一点,也因此才会造成所谓球差、慧差、像散、场曲等问题。而即使在物体上任何一点,都在实像上形成精确对应的点,透镜的口径有限,也因为绕射效应,使得构成实像的每个光点都成了模糊的点,因而有分辨率的问题。

 

 

阿贝成像原理

公元1873 年,阿贝Ernst Abbe, 1840~1905提出一项理论,为上述的几何成像提供了另外一个角度:二维平面的物体,在数学上可以用傅利叶级数展开,也就是说,将许多适当系数的二维傅利叶级数迭加起来,就可以合成该物体。
    如果用同调光透射物体,根据绕射理论,迭加起来可以合成物体的各项二维傅利叶级数,就是在不同方向形成建设性干涉的平行光。凸透镜的作用,就是把这些平行光再度迭加起来。虽然只用一片凸透镜,再次迭加起来亦是近似平行光,不过在迭加起来后,还是形成与物体极相似的实像(图二)。

图二:阿贝成像原理:迭加起来可以合成物体的各项二维傅利叶级数,就是在不同方向形成建设性干涉的平行光(本图仅画出两项)。凸透镜的作用,就是把这些平行光再度迭加起来。

    因为透镜的口径有限,偏向角度大的建设性平行光,也就是空间频率高的二维傅利叶级数,往往不能经过透镜而在像平面上进行迭加,因此成像会因缺少空间高频的二维傅利叶级数而有些模糊。透镜的口径愈小,损失愈多空间高频的二维傅利叶级数,物体的细节就不能在实像中呈现,分辨率也愈差。这项结论与几何成像原理殊途同归。

如图二所示,代表各项二维傅利叶级的平行光会在凸透镜的焦平面上形成建设性干涉的亮斑,之后再分散形成近似平行光,在像平面上进行迭加,而形成实像。有些讲究的实验装置会再加装一片凸透镜,称为4F 系统,把代表各项二维傅利叶级的平行光,完全还原成平行光,并重叠成像。

像平面就是各平行光完全重叠的平面,在像平面之前或之后,各平行光都无法完全重叠,因此影像模糊不清。从几何光学的角度而言,就是失焦。

既然各项二维傅利叶级数的平行光,会在凸透镜的焦平面上形成建设性干涉的亮斑,人们就可以从这里动些手脚,遮掉或是加以修饰某些二维傅利叶级数,从而对最后的成像加以处理。这项技术称为“空间滤波,已有许多实际运用。

 

 

简单有趣的θ调制

本文介绍的这项实验,称为“θ调制”,根据空间滤波的原理,利用一般光源即可进行。所需的材料如下:(一)投影机(一般光源亦可,但就须多费手脚架设安装);(二)两三片光栅(600 lines/mm 若是200~300 lines/mm 者更为方便,可使用大口径的放大镜);(三)黑色色纸;(四)从报废投影机拆下的Fresnel 透镜(因600 lines/mm 光栅分光角度较大,须搭配大口径凸透镜,但大口径凸透镜不易取得,才用Fresnel 透镜取代之)。

收起投影机镜头,开启投影机灯源,如图三A,如果物体是投影机面板上的投影片,面板上方用木架架妥的Fresnel 透镜,就像普通的凸透镜,可使投影片的放大实像呈现在白色的天花板上(图三B)。 

图三:A投影机面板上的投影片当作物体,面板上方用木架架着的Fresnel透镜,就像普通的凸透镜,使B投影片的巨大实像呈现在白色的天花板上。

接着,拿掉投影片,换成被割出两个开口的一张黑纸,开口大小与光栅尺寸相同(图A),将两片光栅置于开口上,两片光栅的方向不同(在本文中两片光栅的方向互相 垂直),此时光栅只经架妥的Fresnel 透镜投影,未经空间滤波,仅会成放大实像在天 花板上(图四B)。

图四:A将两片光栅置于黑纸的两个开口上,两片光栅的方向夹90°B下方为投影机上用木架架妥的Fresnel 透镜,天花板上的光栅实像,其大小可见一斑。与图一情形相同。

 

若在Fresnel 透镜的焦平面上,也就是Fresnel 透镜上方不远处,放一张白纸(在本实验中也是用一付支架安放这张白纸,见图五A),白纸上呈现出因光栅所分出的光源光谱。因本实验中,两片光栅方向夹角90°,所以光谱也夹90°,而呈现十字形(图五B)。光谱的第一级干涉条纹靠中间为紫色,外侧为红色,第二级干涉条纹亦如此顺序。

 




图五:AFresnel透镜的焦平面上放一张白纸。本实验中,投影机上方先架设Fresnel透镜,Fresnel透镜上方再用支架安放这张白纸。BFresnel透镜焦平面上的白纸上呈现出光栅分光的光源光谱。因两片光栅的方向夹90°,所以光谱也夹90°,呈现十字形。

    再用签字笔,把白纸上某道光谱的红色部分圈起,把另一道光谱的蓝色部分圈起来,再用小刀把圈出的部分割出开口,分别让红光和蓝光通过。因水平方向的光谱只有红光通过开口,垂直方向的光谱只有蓝紫色光通过开口,虽然天花板上仍出现光栅的形状(因为根据几何光学,只要透镜有一部分仍能透光,就可以成像),但奇妙的是,颜色会分别变成蓝色和红色(如图六,若使用更不透光的材料取代白纸,天花板上的成像色彩会更鲜艳,只是标示出光谱通过的部分就比较费事了)。

 



图六

若在黑色纸上割出星形和月形的开口,将两片光栅置于开口上,就等于把光栅形状改成星形和月形(图七A)。在白纸上各割出一开口,分别让两道光谱的蓝色和橘红色通过(图七B),天花板上即出现蓝星和橘红色的月亮(图七C)。蓝星和橘红色月亮所成实像,与星形和月形光栅(物)的形状位置上下左右巅倒,这是凸透镜成像的必然结果。

 



图七:A光栅形状改成星形和月形;B在白纸上割出两开口,分别让两道光谱的蓝色和橘红色通过;C天花板上则出现蓝色星星与橘红色月亮。

 

如果白纸上割出的开口,分别让两道光谱的绿色和黄色通过,天花板上则出现绿星和黄色月亮(如图八);如果白纸上割出三个开口,让其中一道光谱的蓝色和红色通过,让另一道光谱的黄色通过,天花板上则出现紫红色的星和黄色月亮(如图九)

 



图八

 



图九

θ调制是最简单的空间滤波实验,其色彩千变万化,可同时演示颜色合成、透镜成像和空间滤波等原理,非常迷人,建议大家都可以试试。

 


 

 

 

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